সমীকরণটি কত?

ত্রিঘাত সমীকরণ গঠন (Forming a Cubic Equation)

ত্রিঘাত সমীকরণ বলতে এমন একটি সমীকরণকে বোঝায় যার সর্বোচ্চ ঘাত \( 3 \) এবং এটি সাধারণত তিনটি মূল (roots) নিয়ে গঠিত। ত্রিঘাত সমীকরণের সাধারণ রূপ হলো:

\[
ax^3 + bx^2 + cx + d = 0
\]

যেখানে \( a \neq 0 \), এবং \( b \), \( c \), ও \( d \) ধ্রুবক। যদি ত্রিঘাত সমীকরণের মূল বা রুটগুলো \( \alpha \), \( \beta \), এবং \( \gamma \) হয়, তবে সমীকরণটি নিম্নলিখিত পদ্ধতিতে গঠন করা যায়।

মূল ধারণা

যদি ত্রিঘাত সমীকরণের মূল তিনটি হয় \( \alpha \), \( \beta \), এবং \( \gamma \), তবে ত্রিঘাত সমীকরণটি নিম্নরূপ হবে:

\[
x^3 - (\alpha + \beta + \gamma)x^2 + (\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha)x - \alpha \beta \gamma = 0
\]

এখানে,

• \( \alpha + \beta + \gamma \) মূলগুলোর সমষ্টি।
• \( \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha \) হল মূলগুলোর দ্বিগুণ গুণফল।
• \( \alpha \beta \gamma \) হল মূলগুলোর গুণফল।

উদাহরণ

ধরা যাক, তিনটি মূল দেওয়া আছে \( \alpha = 2 \), \( \beta = -3 \), এবং \( \gamma = 4 \)।

এখন এই মূলগুলো দিয়ে ত্রিঘাত সমীকরণ তৈরি করা যাক।

১. মূলগুলোর সমষ্টি: \( \alpha + \beta + \gamma = 2 + (-3) + 4 = 3 \)

২. দ্বিগুণ গুণফল: \( \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = (2 \times -3) + (-3 \times 4) + (4 \times 2) = -6 - 12 + 8 = -10 \)

৩. মূলগুলোর গুণফল: \( \alpha \beta \gamma = 2 \times -3 \times 4 = -24 \)

তাহলে ত্রিঘাত সমীকরণটি হবে:

\[
x^3 - (3)x^2 - (10)x + 24 = 0
\]

অর্থাৎ, সমীকরণটি হলো:

\[
x^3 - 3x^2 - 10x + 24 = 0
\]

সমীকরণ গঠনের জন্য অন্যান্য উদাহরণ

উদাহরণ ২

ধরা যাক, ত্রিঘাত সমীকরণের মূল তিনটি \( \alpha = -1 \), \( \beta = 2 \), এবং \( \gamma = 3 \)।

১. মূলগুলোর সমষ্টি: \( \alpha + \beta + \gamma = -1 + 2 + 3 = 4 \)

২. দ্বিগুণ গুণফল: \( \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = (-1 \times 2) + (2 \times 3) + (3 \times -1) = -2 + 6 - 3 = 1 \)

৩. মূলগুলোর গুণফল: \( \alpha \beta \gamma = -1 \times 2 \times 3 = -6 \)

তাহলে ত্রিঘাত সমীকরণটি হবে:

\[
x^3 - 4x^2 + x + 6 = 0
\]

এই পদ্ধতিতে যে কোনো তিনটি মূল ব্যবহার করে ত্রিঘাত সমীকরণ সহজেই গঠন করা যায়।